Исследования нечеткого метода индуктивного моделирования (МГУА) в задачах прогнозирования макроэкономических показателей.
Автор: Ю. П. Зайченко
НТУУ «КПИ», Институт прикладного системного анализа

Введение

Работа посвящена исследованию нечеткого метода индуктивного моделирования, известного под названием метода группового учета аргументов (МГУА) в задачах моделирования и прогнозирования в макроэкономике.
Проблема состоит в построении прогнозирующих моделей и нахождении неизвестной функциональной зависимости между прогнозируемой величиной и заданным набором макроэкономических показателей по экспериментальным точкам. При этом аналитический вид модели (функциональной зависимости) неизвестен.
Достоинством метода индуктивного моделирования МГУА является возможность построения объективной модели в процессе работы алгоритма, а также возможность работать на коротких выборках. Особенностью нечеткого МГУА является получение интервальных оценок для прогнозируемой переменной, что позволяет судить о точности получаемого прогноза.
В статье дается обзор основных результатов, полученных в области нечеткого метода самоорганизации, анализ применения различных видов ФП (функций принадлежности), оцениваются перспективы использования нечеткого МГУА в задачах прогнозирования в макроэкономике и отмечаются некоторые направления его дальнейших исследований.

1. Постановка задачи

Задано множество исходных данных: входные переменные {Х(1), Х(2),…, Х(М)} и выходная переменная {у(1), у(2),…, у(М)}, где Х ={х1, х2,…, хn } – n-мерный вектор, М – число точек наблюдения.
Требуется на основе наблюдаемых данных построить модель Y =F(х1, х2,…, хn), адекватную наблюдаемым данным, причем полученная модель должна быть наименьшей сложности. В частном случае при решении задачи прогнозирования в качестве выходной переменной используется модель, где – величина интервала упреждения.

Отличительными особенностями данной задачи являются:
1. вид функциональной зависимости неизвестен, а определен только класс моделей, например, полиномиальная произвольной степени нелинейности или гармонический ряд (Фурье);
2. короткая выборка данных;
3. временные ряды xi (t) в общем случае нестационарные.
В таком случае применение классических методов статистического анализа, например регрессионного или дисперсионного анализа, невозможно, и необходимо использовать нестандартные методы, например, основанные на применении идей искусственного интеллекта.
К их числу относится метод группового учета аргументов (МГУА), предложенный в работах А.Г. Ивахненко [1], и развитый в многочисленных работах А.Г. Ивахненко и его учеников [2,3]. Он является методом индуктивного моделирования сложных систем.
Метод заимствует идеи из биологии, а именно механизмы эволюции:
1. скрещивание или гибридизация родительских пар (аргументов) и генерация потомков;
2. селекция и отбор лучших.
Основными достоинствами метода, которые обусловили его популярность и широкое использование не только в Украине, но и за рубежом, являются:
– метод не требует задания модели в явном виде, модель конструируется сама в процессе работы алгоритма;
– метод работает на коротких выборках (когда число определяемых коэффициентов модели n меньше числа точек наблюдения М ).
Вместе с тем классический метод МГУА обладает рядом недостатков:
– при близких экспериментальных точках возможно явление вырожденности матрицы нормальных уравнений Гаусса (“индуцит” в терминологии А.Г. Ивахненко), вследствие чего возникает необходимость применения специальных методов регуляризации;
– метод дает точечную модель (прогноза), а в ряде случаев желательно иметь доверительный интервал, который характеризует точность прогноза.
Поэтому в последние годы ведутся интенсивные исследования, направленные на разработку новых методов, лишенных указанных недостатков.
Таким методом является нечеткий МГУА (НМГУА), который строит интервальную модель регрессии, и для нахождения модели (прогноза) не использует МНК. Поэтому явление вырожденности здесь отсутствует.

2. Основные принципы МГУА

Напомним основополагающие принципы МГУА, которые справедливы и для нечеткого его варианта. Достаточно полная зависимость между входами X(i) и выходами Y(i) в классе полиномиальных моделей может быть представлена с помощью обобщенного полинома Колмогорова- Габора.
Пусть есть, тогда такой полином имеет вид:
где все коэффициенты не известны.
При построении модели (при определении значений коэффициентов) в качестве критерия используется критерий регулярности (точности):
Необходимо обеспечить.
Принцип множественности моделей: существует множество моделей на данной выборке, обеспечивающих нулевую ошибку (достаточно повышать степень полинома модели). Т.е. если имеется N узлов интерполяции, то можно построить целое семейство моделей, каждая из которых при прохождении через экспериментальные точки будет давать нулевую ошибку
Обозначим S – сложность модели (определяется числом членов полинома Колмогорова-Габора).Значение ошибки зависит от сложности модели. Причем по мере роста сложности сначала она будет падать, а затем расти. Нам же нужно выбрать такую оптимальную сложность, при которой ошибка будет минимальна. Кроме того, если учитывать действие помех, то можно выделить следующие моменты:
1. При различном уровне помех зависимость от сложности S будет изменяться, сохраняя при этом общую направленность (имеется ввиду, что с ростом сложности она сначала будет уменьшаться, а затем – возрастать).
2. При увеличении уровня помех величина будет расти.
3. С ростом уровня помех, будет уменьшаться (оптимальное значение сложности будет смещаться влево). Причем, если уровень помех не нулевой.
Один из способов преодоления неполноты выборки данных, которая является следствием теоремы неполноты Геделя – принцип внешнего дополнения. В качестве внешнего дополнения используется дополнительная выборка (проверочная), точки которой не использовались при обучении системы (т.е. при поиске оценочных значений коэффициентов полинома Колмогорова-Габора).
Поиск наилучшей модели осуществляется таким образом:
• Вся выборка делится на обучающую и проверочную:
• На обучающей выборке определяются значения.
• На проверочной выборке отбираются лучшие модели.