Принцип свободы выбора (неокончательности промежуточного решения):
1. Для каждой пары и строятся частичные описания (всего ) вида:
• или, (линейные);
• или, (квадратичные).
2. Определяем коэффициенты этих моделей по МНК, используя обучающую выборку. Т.е. находим.
3. Далее на проверочной выборке для каждой из этих моделей ищем оценку
(где — действительное значение выходной переменной в k-той точке проверочной выборки; – выходное значение в k-той точке проверочной выборки в соответствии с s-той моделью) и определяем F лучших моделей.
Выбранные подаются на второй ряд.
Оценка здесь такая же, как на первом ряде. Отбор лучших осуществляется опять так же, но. Процесс конструирования рядов повторяется до тех пор, пока средний квадрат ошибки будет падать. Когда на слое m получим увеличение ошибки, то прекращаем.
7. Описание алгоритма НМГУА.

Дадим краткое описание алгоритма.
1. Выбор общего вида модели, которым будет описываться искомая зависимость.
2. Выбор внешних критериев оптимальности (критерия регулярности или несмещенности ).
3. Выбор общего вида опорной функции (вида частичных описаний), например, линейного или квадратичного.
4. Разбиение выборки на обучающую и проверочную.
5. Присваиваем нулевые значения счетчику числа моделей k и счетчику числа рядов r.
6. Генерируем новую частичную модель вида (5) на обучающей выборке. Решаем задачу ЛП (10) – (12) и находим искомые значения,.
7. Определяем по проверочной выборке значение внешнего критерия ( ) или ( ).
8.. Если, то,.
9. Вычисляем средний критерий для моделей r-й итерации ( или ). Если, то переходим на шаг 6, иначе – на шаг 10.
10. Если, то переходим на шаг 11, иначе – отбираем F лучших моделей и положив,, переходим на шаг 6 и выполняем следующую (r+1)-ю итерацию.
11. Из F моделей предыдущего ряда находим по критерию регуляризации наилучшую модель.

5. Анализ различных видов функций принадлежности.

В первых работах, посвященных нечеткому МГУА [3,4] рассматривались функции принадлежности нечетких коэффициентов треугольного вида. Поскольку нечеткие числа могут иметь и другой вид ФП, то представляет интерес рассмотрение других классов ФП в задачах моделирования на основе МГУА. В работе [7] рассмотрены нечеткие модели с гауссовскими и колоколообразными ФП.
Во всех экспериментах точность прогноза с адаптацией коэффициентов модели оказалась несколько выше. Так при прогнозе 10 точек (с 09.1998 по 06.1999 ) СКО для моделей с адаптацией и без адаптации составило соответственно 0,813634 и 0,99096.
При прогнозе 11 точек (с 02.1998 по 12.1998 ) СКО составило- 0,88312 та 1,16648 соответственно. Эти результаты свидетельствуют о целесообразности применения адаптации для корректировки коэффициентов модели по вновь поступающим данным и позволяют избежать большого объема вычислений, связанного с повторным синтезом модели. Однако следует отметить, что в условиях экономики переходного периода зависимость между входными и выходным процессами может существенно изменяться на коротком отрезке времени и адаптация коэффициентов модели может не дать желаемого эффекта, т.к. текущая модель становится не адекватной, и тогда необходим синтез новой модели. Следовательно, для повышения точности прогноза необходимо определить некоторый баланс между адаптацией существующей модели и синтезом новой модели. В частности, существенная ошибка прогноза является сигналом для синтеза новой модели
Результаты проведенных экспериментов с различными ФП
Был проведен эксперимент по моделированию неизвестной функции с использованием программной реализации описанного выше алгоритма НМГУА с использованием различных ФП. В качестве входных данных был взяты следующие макроэкономические показатели (данные с апреля 1996г. по июнь 1999г.):
– номинальный ВВП (НВВП);
– процент изменения индекса потребительских цен (%ИПЦ);
– процент изменения индекса оптовых цен (%ИОЦ);
– индекс реальной промышленной продукции (ИРПП);
– ставка рефинансирования НБУ за прошедший месяц (СР).
Выходной прогнозируемой переменной было значение номинального ВВП в следующем месяце.
Массив входных данных размером 28 точек был разбит на 11 окон (промежутков) данных, на которых строилась модель. Размер каждого окна составил 12 точек, каждое окно было сдвинуто на один месяц относительно предыдущего. После этого проводился прогноз НВВП(+1) на 5 шагов вперед. На каждом этапе синтеза НМГУА выбиралось 7 лучших полных квадратичных моделей частичных описаний. Соотношения критериев регулярности и несмещенности в определении погрешности частичных описаний: 0,7/0,3. Для гауссовской и колоколообразной функций принадлежности задавался уровень значимости 0,7.
Результаты экспериментов приведены в таблицах 1,2:

Таблица 1
Номер окна MSE
Треугольная ФП Гауссовская ФП Колоколообразная ФП
1 1669,8620 1655,4260 1652,1840
2 458,4141 449,6609 447,6822
3 830,1062 826,8912 826,1713
4 1362,0540 1353,9970 1352,1930
5 1858,8730 1845,2010 1842,1330
Среднее: 1235,8620 1226,2350 1224,0730

Таблица 2. Сравнительный анализ гауссовской и колоколообразной ФП с разными уровнями значимости.
Уровень значимости MSE с гауссовской ФП MSE с колоколообразной ФП
0,3 1368,135 1365,201
0,5 1366,106 1363,162
0,7 1361,489 1361,162
0,8 1361,796 1358,851
0,9 1359,482 1359,201

Сравнительный анализ результатов прогнозирования по четкому и нечеткому МГУА
Алгоритм четкого МГУА был реализован в пакете GMDH, а предложенный алгоритм нечеткого МГУА реализован в пакете FGMDH. В качестве исходных данных для обеих программ выбирались данные по макроэкономическим показателям Украины за 2001-2003 гг. В качестве прогнозируемых показателей выбирался индекс потребительских цен IOC, а также ВВП. В процессе экспериментов варьировалось число оптимальных моделей передаваемых на следующий уровень F=5,6,7.(свобода выбора), а также %соотношение между обучающей и проверочной выборками.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:
1. Применение нечеткого МГУА в задачах прогнозирования экономических процессов со сложной динамикой и неизвестной функциональной взаимосвязью между процессами является вполне обоснованным и позволяет получить сравнительно высокую точность прогноза.
2. Применение адаптации коэффициентов найденной нечеткой модели по текущим данным позволяет повысить точность прогнозирования на 15-20%.
3. Результаты прогнозирования по нечеткому МГУА практически слабо зависят от типа функций принадлежности. Имеется некоторое предпочтение гауссовской и колоколообразной ФП перед треугольной. Но основным преимуществом нелинейных ФП перед треугольной состоит в том, что они определяются заданным уровнем значимости, что может обеспечить дополнительную гибкость алгоритма.
4. Основными преимущствами нечеткого МГУА по сравнению с четким являются:
– отсутствие явления вырожденности моделей при плохой обусловленности матрицы ограничений нормальных уравнний;
– возможность получения доверительного интервала для прогноза, что позволяет судить о точности получаемых оценок.
В качестве перспективных направлений дальнейших исследований в области нечеткого МГУА следует отметить исследование различных классов опорных функций (например, гармонических, обратных, показательных и др.), проведение сравнительного анализа МГУА с нейронными сетями, в том числе и нечеткими, в задачах моделирования и прогнозирования в экономике.