НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ часть 1
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ часть 2
Автор: Владимир Донченко
Аннотация: Рассмотрена важная в математическом моделировании проблема происхождения неопределённости и математические средства её моделирования в связи с общими представлениями о том, что следует понимать под математическими структурами в широком смысле. Приведены примеры современных подходов к пониманию неопределённости и способов её описания. Предложена модель неопределённости, связывающая неопределённость с экспериментом. Приведён обзор математических методов используемых для моделирования в условиях неопределённости, определено место нечёткости в моделировании неопределённости.
Ключевые слова: Структурность, неопределённость, обратные задачи, нечёткие множества, случайность, преобразование Хока, псевдообращение по Муру – Пенроузу.
ACM Classification Keywords: G.3 Probability and statistics, G.1.6. Numerical analysis: Optimization; G.2.m. Discrete mathematics: miscellaneous.
Conference: The paper is selected from XVth International Conference «Knowledge-Dialogue-Solution» KDS 2009, Varna, Bulgaria, June-July 2009
Вступление
Задача математического описания объекта в условиях неопределённости: его математического моделирования в соответствующих условиях, является важнейшей прикладноё задачей. Классические математические методы, используемые для описания неопределённости, в частности, обратные задачи (решение уравнений) и вероятностно-статистические методы (неопределённость в виде случайности), имеют многовековую историю. Тем не менее, объём и важность прикладных исследований, связанных с описанием поведения объектов в условиях неопределенности приводит в 60-х годах ХХ века к созданию и введению в практику прикладных математических исследований сразу нескольких математических средств описания и учёта неопределённости. Этими методами, теориями и средствами были: теория оценок с гарантированной точностью (теория минимаксного оценивания), теория нечётких по Л.Заде подмножеств (Fuzzy — теория) [Zadeh, 1965], инженерный метод в виде преобразования Хока (Hough Transform)[Hough, 1962]. Отметим также качественный сдвиг в практике рассмотрения обратных задач: введение в середине 50-х годов прошлого века в практику математического моделирования теории псевдообращения по Муру – Пенроузу (см., например, [Алберт, 1977]). Справедливости ради, следует отметить, что псевдообращение (в оригинале reciprocal) было введено в 1920 г. Муром в его работе [Moore, 1920], а Пенроузом – только в 1955 г. [Penrose,1955]. Отметим также, что преобразование Хока (ПХ) первоначально имело характер инженерного метода. Математическую теорию преобразования можно найти, например в [Donchenko, 2003].
Наличие разнотипных математических подходов к учёту неопределённости: математических методов моделирования в условиях неопределённости, их интенсивное и плодотворное применение в решении прикладных задач, не отменяет необходимости осмысления того, что же представляет неопределённость. Среди сравнительно недавних монографий, посвящённых неопределённости отметим работу Линдли [Lindley, 2006], в которой, собственно, неопределенность, в общем, предлагается понимать в рамках статистического (теоретико-вероятностного) подхода.
Применение математических методов в описании реальных объектов: их математическом моделировании, иногда вселяет надежды и ожидания, порождённые неоправданной верой прикладных исследователей во всесилие математики и в применение математических методов. Впрочем, эти заблуждения касаются не только математики. Применение математических методов связано, собственно, с использованием математических средств в описании того, что для специалиста в соответствующей области является «структурой объекта». В частности, естественным в устах исследователей являются выражение «структура объекта», «хорошо структурированный объект» и т.д. В то же время, естественными и часто употребляемыми в математической практике являются термины, связывающие понятие «структуры» (в широком смысле, а не по Вейлю) с тем или иным математическим объектом: говорят, что объект имеет «структуру метрического пространства», «структуру линейного пространства» и т.д. Очевидным образом, употребление термина «структура» в связи с моделируемым объектом и в рамках рассмотрения математических конструкций не идентично. Собственно, математическое моделирование представляет собой описание «структуры объекта» с помощью или в рамках тех или иных «математических структур». В частности, к примеру, в физике, в задачах динамики движения тела или тел, задачах описания электромагнитных явлений для описания исследуемого объекта используются переменные, функции, производные, интегралы. Для их использования необходимы соответствующие конструкции: математические структуры, которые обеспечивают корректность манипуляций с соответствующими математическими объектами.
В связи с задачей математического моделирования принципиальными являются два момента, один из которых, связанный с употреблением термина «структура» в широком смысле, уже отмечен выше: разница в употреблении термина «структура» в связи с моделируемым объектом и в связи с математическими конструкциями. Вторым принципиальным моментом, который следует принять во внимание, является наличие того, что часто передаётся выражениями: «неопределённость в поведении» исследуемого объекта, «моделирование в условиях неопределённости». Наличие «неопределённости» является существенной чертой важнейших прикладных задач. Как отмечено выше, до середины ХХ ст. классическими математическими средствами описания неопределённости были теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС) (неопределённость в виде случайности), и обратные задачи (решение уравнений). Вторая половина ХХ столетия, как отмечено выше, добавила к арсеналу математического моделирования в условиях неопределённости сразу несколько методов. Как представляется, в настоящее этот математический арсенал включает в себя следующие методы: 1) детерминированный, включая обратные задачи и задачи с проблемой скрытых параметров; 2) статистический; 3) метод получения оценок с гарантированной точностью; 4) метод нечётких множеств; 5) метод преобразования Хока. Все они естественным образом вкладываются в «множественную модель» неопределённости обоснованную и описанную ниже.
Предлагаемая работа посвящена обсуждению двух, как представляются автору, принципиальных, концепций: «математической структуры» и «неопределённости». Ниже приведены основные
«математические структуры», а также изложена концепция «множественных моделей неопределённости», связывающая представление о неопределённости в поведении исследуемого объекта с экспериментом. Платформа «множественных моделей «неопределенности» позволяет с единых позиций рассматривать математические методы описания неопределенности, к которым отнесены отмеченные выше методы.
«Структура объекта» как «связь» и «взаимная зависимость» основных частей объекта
Термин «структура объекта» связано с представлением об объекте, как о чём-то целом, состоящим из связанных между собою частей. В таком контексте, термин «структура» является эквивалентом термина «связи» между частями объекта, рассматриваемого как единое целое. Такие связи могут реализовывать представление о последовательных этапах обработки информации, о структурных подразделениях предприятия и их взаимодействии об эволюции во времени или перемещении в пространстве т.д. И термин «структура» и термин «связь» используется интуитивно. В лучшем случае могут быть описаны типы связей: основные элементы и способ их взаимодействия, структурные элементы, последовательность обработки, информационные связи и т.д. Важным оказывается то, что математическое описание объекта, точнее того, что называют «структурой» объекта, выступает как средство описания «связей», существующих между структурными элементами исследуемого объекта.
«Структуры» в математике как множества плюс «связи» между элементами
После Георга Кантора: все объекты математического исследования – это конструкции, рассматриваемые в рамках «математических структур». «Математическая структура» реализует представление о математическом объекте как о совокупности элементов (множестве), между которыми существуют определённые «связи». Эти «связи» и описывают то, что называют «математической структурой». Собственно «математическая структура» – это множество плюс «связи». Однако, в отличие от предметной области, в математике под «связями» понимают вполне конкретные математические объекты. Такими математическими средствами описания «связей»: математическими средствами «структурирования», являются, собственно, следующие: 1) отношения; 2) функции; 3) операции; 4) предельный переход; 5) измеримое пространства; 6) комбинации первых пяти.
Средства «математического структурирования», «связи»: отношения
Понятие отношения, в общем, и отношения на множестве в частности относится к базовым математическим понятиям. Примером бинарного отношения на множестве действительных чисел является отношение частичного порядка, задаваемого стандартным образом. Говоря об отношении частичного порядка в связи с абстрактным множеством, имеют в виду бинарное отношение, являющееся симметричным, транзитивным и антисимметричным. Другим важными примером бинарных отношений, являются эквивалентности: рефлексивные, симметричные и транзитивные отношения на множестве. Заметим, что равенство как совпадение элементов множества, является эквивалентностью, называемой диагональным отношением. Равенство двух рациональных чисел является эквивалентностью, а не совпадением. Эквивалентностью является также одинаковость множеств по мощности.
Средства «математического структурирования», «связи»: функции
Функции являются частным случаем бинарных отношений из одного множества в другое. Среди множества возможных примеров, отметим такие функции, как «расстояние», «норма» и «скалярное произведение». Важным примером функций являются также операции.
Отметим также важный класс функций, имеющий принципиальное значение: это функции множества. Примерами таких функций являются «длина», «площадь», «объём». Собственно, функции множества – это функции, аргументами которых являются наборы элементов (подмножества) фиксированного множества. Таким подмножествами для «длины» являются, в частности, отрезки числовой прямой, а для «объёма» – тела в пространстве. Важным классом функций множества, представленным «длиной», «площадью», «объёмом», являются меры: неотрицательные, счётно аддитивные, нормированные функции множества. Счётная аддитивность означает, что функция суммирует свои значения на счётном объединении множеств, попарно не имеющих общих элементов, а нормированность – в частности, нулевое значение на пустом множестве.
Средства «математического структурирования», «связи»: операции
Говоря об операциях в математике, имеют в виду преобразование (функция) одного или нескольких элементов множества, результатом которого является элемент того же множества. Классическими примерами операций являются операции сложения или умножения над числами. Операция по компонентного сложения упорядоченных числовых наборов фиксированной длины (числовых кортежей) является ещё одним примером бинарной операции. Операция покомпонентного умножения упомянутых числовых кортежей на скаляр является примером унарной (одноместной) операции Удобно считать, что выделение одного, «уникального по свойствам» элемента множества, является нульарной (без объекта преобразования) операцией. Выделения нуля как действительного числа или выделение кортежа с нулевыми компонентами (то же относится к матрицам) являются примерами таких нульарных операций.
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ часть 2
Автор: Владимир Донченко
Аннотация: Рассмотрена важная в математическом моделировании проблема происхождения неопределённости и математические средства её моделирования в связи с общими представлениями о том, что следует понимать под математическими структурами в широком смысле. Приведены примеры современных подходов к пониманию неопределённости и способов её описания. Предложена модель неопределённости, связывающая неопределённость с экспериментом. Приведён обзор математических методов используемых для моделирования в условиях неопределённости, определено место нечёткости в моделировании неопределённости.
Ключевые слова: Структурность, неопределённость, обратные задачи, нечёткие множества, случайность, преобразование Хока, псевдообращение по Муру – Пенроузу.
ACM Classification Keywords: G.3 Probability and statistics, G.1.6. Numerical analysis: Optimization; G.2.m. Discrete mathematics: miscellaneous.
Conference: The paper is selected from XVth International Conference «Knowledge-Dialogue-Solution» KDS 2009, Varna, Bulgaria, June-July 2009
Вступление
Задача математического описания объекта в условиях неопределённости: его математического моделирования в соответствующих условиях, является важнейшей прикладноё задачей. Классические математические методы, используемые для описания неопределённости, в частности, обратные задачи (решение уравнений) и вероятностно-статистические методы (неопределённость в виде случайности), имеют многовековую историю. Тем не менее, объём и важность прикладных исследований, связанных с описанием поведения объектов в условиях неопределенности приводит в 60-х годах ХХ века к созданию и введению в практику прикладных математических исследований сразу нескольких математических средств описания и учёта неопределённости. Этими методами, теориями и средствами были: теория оценок с гарантированной точностью (теория минимаксного оценивания), теория нечётких по Л.Заде подмножеств (Fuzzy — теория) [Zadeh, 1965], инженерный метод в виде преобразования Хока (Hough Transform)[Hough, 1962]. Отметим также качественный сдвиг в практике рассмотрения обратных задач: введение в середине 50-х годов прошлого века в практику математического моделирования теории псевдообращения по Муру – Пенроузу (см., например, [Алберт, 1977]). Справедливости ради, следует отметить, что псевдообращение (в оригинале reciprocal) было введено в 1920 г. Муром в его работе [Moore, 1920], а Пенроузом – только в 1955 г. [Penrose,1955]. Отметим также, что преобразование Хока (ПХ) первоначально имело характер инженерного метода. Математическую теорию преобразования можно найти, например в [Donchenko, 2003].
Наличие разнотипных математических подходов к учёту неопределённости: математических методов моделирования в условиях неопределённости, их интенсивное и плодотворное применение в решении прикладных задач, не отменяет необходимости осмысления того, что же представляет неопределённость. Среди сравнительно недавних монографий, посвящённых неопределённости отметим работу Линдли [Lindley, 2006], в которой, собственно, неопределенность, в общем, предлагается понимать в рамках статистического (теоретико-вероятностного) подхода.
Применение математических методов в описании реальных объектов: их математическом моделировании, иногда вселяет надежды и ожидания, порождённые неоправданной верой прикладных исследователей во всесилие математики и в применение математических методов. Впрочем, эти заблуждения касаются не только математики. Применение математических методов связано, собственно, с использованием математических средств в описании того, что для специалиста в соответствующей области является «структурой объекта». В частности, естественным в устах исследователей являются выражение «структура объекта», «хорошо структурированный объект» и т.д. В то же время, естественными и часто употребляемыми в математической практике являются термины, связывающие понятие «структуры» (в широком смысле, а не по Вейлю) с тем или иным математическим объектом: говорят, что объект имеет «структуру метрического пространства», «структуру линейного пространства» и т.д. Очевидным образом, употребление термина «структура» в связи с моделируемым объектом и в рамках рассмотрения математических конструкций не идентично. Собственно, математическое моделирование представляет собой описание «структуры объекта» с помощью или в рамках тех или иных «математических структур». В частности, к примеру, в физике, в задачах динамики движения тела или тел, задачах описания электромагнитных явлений для описания исследуемого объекта используются переменные, функции, производные, интегралы. Для их использования необходимы соответствующие конструкции: математические структуры, которые обеспечивают корректность манипуляций с соответствующими математическими объектами.
В связи с задачей математического моделирования принципиальными являются два момента, один из которых, связанный с употреблением термина «структура» в широком смысле, уже отмечен выше: разница в употреблении термина «структура» в связи с моделируемым объектом и в связи с математическими конструкциями. Вторым принципиальным моментом, который следует принять во внимание, является наличие того, что часто передаётся выражениями: «неопределённость в поведении» исследуемого объекта, «моделирование в условиях неопределённости». Наличие «неопределённости» является существенной чертой важнейших прикладных задач. Как отмечено выше, до середины ХХ ст. классическими математическими средствами описания неопределённости были теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС) (неопределённость в виде случайности), и обратные задачи (решение уравнений). Вторая половина ХХ столетия, как отмечено выше, добавила к арсеналу математического моделирования в условиях неопределённости сразу несколько методов. Как представляется, в настоящее этот математический арсенал включает в себя следующие методы: 1) детерминированный, включая обратные задачи и задачи с проблемой скрытых параметров; 2) статистический; 3) метод получения оценок с гарантированной точностью; 4) метод нечётких множеств; 5) метод преобразования Хока. Все они естественным образом вкладываются в «множественную модель» неопределённости обоснованную и описанную ниже.
Предлагаемая работа посвящена обсуждению двух, как представляются автору, принципиальных, концепций: «математической структуры» и «неопределённости». Ниже приведены основные
«математические структуры», а также изложена концепция «множественных моделей неопределённости», связывающая представление о неопределённости в поведении исследуемого объекта с экспериментом. Платформа «множественных моделей «неопределенности» позволяет с единых позиций рассматривать математические методы описания неопределенности, к которым отнесены отмеченные выше методы.
«Структура объекта» как «связь» и «взаимная зависимость» основных частей объекта
Термин «структура объекта» связано с представлением об объекте, как о чём-то целом, состоящим из связанных между собою частей. В таком контексте, термин «структура» является эквивалентом термина «связи» между частями объекта, рассматриваемого как единое целое. Такие связи могут реализовывать представление о последовательных этапах обработки информации, о структурных подразделениях предприятия и их взаимодействии об эволюции во времени или перемещении в пространстве т.д. И термин «структура» и термин «связь» используется интуитивно. В лучшем случае могут быть описаны типы связей: основные элементы и способ их взаимодействия, структурные элементы, последовательность обработки, информационные связи и т.д. Важным оказывается то, что математическое описание объекта, точнее того, что называют «структурой» объекта, выступает как средство описания «связей», существующих между структурными элементами исследуемого объекта.
«Структуры» в математике как множества плюс «связи» между элементами
После Георга Кантора: все объекты математического исследования – это конструкции, рассматриваемые в рамках «математических структур». «Математическая структура» реализует представление о математическом объекте как о совокупности элементов (множестве), между которыми существуют определённые «связи». Эти «связи» и описывают то, что называют «математической структурой». Собственно «математическая структура» – это множество плюс «связи». Однако, в отличие от предметной области, в математике под «связями» понимают вполне конкретные математические объекты. Такими математическими средствами описания «связей»: математическими средствами «структурирования», являются, собственно, следующие: 1) отношения; 2) функции; 3) операции; 4) предельный переход; 5) измеримое пространства; 6) комбинации первых пяти.
Средства «математического структурирования», «связи»: отношения
Понятие отношения, в общем, и отношения на множестве в частности относится к базовым математическим понятиям. Примером бинарного отношения на множестве действительных чисел является отношение частичного порядка, задаваемого стандартным образом. Говоря об отношении частичного порядка в связи с абстрактным множеством, имеют в виду бинарное отношение, являющееся симметричным, транзитивным и антисимметричным. Другим важными примером бинарных отношений, являются эквивалентности: рефлексивные, симметричные и транзитивные отношения на множестве. Заметим, что равенство как совпадение элементов множества, является эквивалентностью, называемой диагональным отношением. Равенство двух рациональных чисел является эквивалентностью, а не совпадением. Эквивалентностью является также одинаковость множеств по мощности.
Средства «математического структурирования», «связи»: функции
Функции являются частным случаем бинарных отношений из одного множества в другое. Среди множества возможных примеров, отметим такие функции, как «расстояние», «норма» и «скалярное произведение». Важным примером функций являются также операции.
Отметим также важный класс функций, имеющий принципиальное значение: это функции множества. Примерами таких функций являются «длина», «площадь», «объём». Собственно, функции множества – это функции, аргументами которых являются наборы элементов (подмножества) фиксированного множества. Таким подмножествами для «длины» являются, в частности, отрезки числовой прямой, а для «объёма» – тела в пространстве. Важным классом функций множества, представленным «длиной», «площадью», «объёмом», являются меры: неотрицательные, счётно аддитивные, нормированные функции множества. Счётная аддитивность означает, что функция суммирует свои значения на счётном объединении множеств, попарно не имеющих общих элементов, а нормированность – в частности, нулевое значение на пустом множестве.
Средства «математического структурирования», «связи»: операции
Говоря об операциях в математике, имеют в виду преобразование (функция) одного или нескольких элементов множества, результатом которого является элемент того же множества. Классическими примерами операций являются операции сложения или умножения над числами. Операция по компонентного сложения упорядоченных числовых наборов фиксированной длины (числовых кортежей) является ещё одним примером бинарной операции. Операция покомпонентного умножения упомянутых числовых кортежей на скаляр является примером унарной (одноместной) операции Удобно считать, что выделение одного, «уникального по свойствам» элемента множества, является нульарной (без объекта преобразования) операцией. Выделения нуля как действительного числа или выделение кортежа с нулевыми компонентами (то же относится к матрицам) являются примерами таких нульарных операций.
Комментарии (0)
RSS свернуть / развернутьТолько зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.